Il reticolo reciproco - introduzione

Il concetto di reticolo reciproco (e quello di spazio reciproco) è molto pervasivo nelle scienze dello stato solido, e gioca un ruolo fondamentale nella maggior parte degli studi analitici delle strutture periodiche. Ci si arriva da strade diverse, quali la teoria della diffrazione, lo studio astratto di funzioni periodiche in un reticolo di Bravais, la teoria delle bande elettroniche, gli spettri vibrazionali reticolari, e, in pratica, da ogni disciplina orientata allo studio delle proprietà dei solidi. Esso fu introdotto per la prima volta da P. Ewald (1912, tesi di laurea).

Dal punto di vista dei cristallografi, il reticolo reciproco è uno strumento molto utile nei calcoli metrici, e, come vedremo, nella geometria della diffrazione, permettendo di interpretare quantitativamente i pattern di diffrazione di raggi X, elettroni, neutroni (da cui si ottengono le strutture cristalline e molecolari). I fisici lo utilizzano nello studio della propagazione di onde di tutti i tipi in un mezzo periodico (spazio k).

Ci sono diversi approcci al reticolo reciproco. Cominciamo con un approccio assiomatico, una costruzione geometrica astratta, basata sull’algebra vettoriale.

Siano a, b, c i vettori elementari di un reticolo cristallino che chiameremo diretto o reale. Un secondo reticolo, definito dai vettori elementari a*, b*, c*, e detto reciproco del primo se soddisfa le seguenti condizioni:

a*.b = a*.c = b*.a = b*.c = c*.a = c*.b = 0

a*.a = b*.b = c*.c = 1

La prima serie di condizioni indica che a* è perpendicolare a b e c, b* è perpendicolare ad a e c, c* ad a e b. La seconda riga fissa in modulo e verso i tre vettori reciproci fondamentali a*, b*, c*.

Potremo quindi scrivere

a* = cost. (b x c)

ma essendo a*.a = 1 avremo

a*.a = cost (b x c).a = cost. V = 1

Quindi cost. =1/ V (V = volume di cella), e avremo per i tre parametri reciproci

a* = (b x c)/ V b* = (a x c)/ V c* = (a x b)/ V

In termini scalari

a* = (bc sinα)/ V b* = (ac sinβ)/ V c* = (ab sinγ)/ V

Si noti che V* = a* . (b* x c*) = 1/ V.

Le definizioni suggeriscono che i ruoli dei reticoli diretto e reciproco sono intercambiabili, nel senso che il reciproco del reticolo reciproco è il reticolo reale.

Si puo facilmente verificare che i reciproci dei reticoli triclini, monoclini, etc. sono anch’essi triclini, monoclini, etc. Ma il reciproco di un reticolo F è un reticolo I e viceversa.

Qualsiasi vettore nello spazio reciproco sarà una combinazione lineare dei vettori di base a*, b* e c*, secondo:

r* = d*hkl = ha* + kb* + lc*

La terna di indici di Miller (hkl), che nello spazio diretto è associata ad una famiglia di piani paralleli, nello spazio reciproco indica le componenti del vettore d*hkl ad essi associato. Questo vettore è normale alla famiglia di piani (hkl). Se h, k , l sono interi primi fra loro vale la relazione

dhkl* = K / dhkl

dove K è una costante arbitraria, che è talora conveniente prendere unitaria ma per la diffrazione è meglio assumere uguale alla λ della radiazione usata, e dhkl è la distanza interplanare della famiglia di piani (hkl).

Questi vettori d* sono vettori del reticolo reciproco, nel senso che i loro moduli (distanze tra nodi) hanno dimensione di [lunghezza]-1, per esempio Àngstroms reciproci, Å-1, o picometri reciproci, pm-1.

Vediamo come si procede alla costruzione di un reticolo reciproco monoclino (Figura). La cella reale monoclina è indicata con OADC, con OA e OC nella direzione degli assi cristallografici x e z rispettivamente. La famiglia di piani paralleli equidistanti di cui due membri sono rappresentati dalle tracce OC e AD ha indici di Miller (100). Il corrispondente nodo reciproco 100, indicato con un quadratino, giace sulla normale al set di piani precedenti. In modo analogo si può ragionare per la famiglia (001). L’area compresa tra i nodi reciproci 000, 100, 101 e 001 rappresenta una faccia della cella reciproca. Per un monoclino le direzioni di b e b* coincidono.

La descrizione formale qui presentata (senza dimostrazioni) del reticolo reciproco può risultare troppo astratta. Vediamo però ora come collegare il reticolo reciproco alla diffrazione.